La solución de uno de los problemas matemáticos del milenio, la conjetura de Poincaré es, hasta hoy en día, controversial y enigmática.

La historia de las matemáticas está llena de relatos interesantes. Algunos de ellos son solo mitos, que enaltecen a sus protagonistas, mientras que otros son completamente reales y asombran a quienes los escuchan. La conjetura de Poincaré, nombrado uno de los “Problemas del Milenio” por el Instituto de Matemáticas Clay Cambridge cae en esta categoría: uno de los problemas más difíciles tiene una historia tan interesante como su solución.

Jules Henri Poincaré fue un matemático francés, nacido el 29 de abril de 1854. Muchas veces ha sido llamado “el último universalista”, debido a que sus casi 500 artículos los escribió acerca de casi todas las áreas de la matemática pura y aplicada. Para citar algunos ejemplos, Poincaré escribió artículos en geometría algebraica, teoría de números y ecuaciones diofánticas, así como en óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría potencial, teoría cuántica y cosmología.

Junto con Einstein y Lorentz, se le atribuye muchas veces el título de co-descubridor de la teoría especial de la relatividad.

Retrato de Henri Poincaré

Retrato de Henri Poincaré, el fundador de la topología.

Henri Poincaré también suele ser considerado el fundador de la Topología Algebraica. Y es aquí, desde el comienzo de esta área de la matemática, donde nace la famosa Conjetura de Poincaré.

La topología es una rama de la matemática similar a la geometría, en el sentido de que estudia las formas de los objetos.  Sin embargo, a diferencia de la geometría, la topología se centra en las propiedades que quedan en las figuras cuando no tomamos en cuenta las medidas de las mismas. Esta no toma en cuenta cosas como el tamaño de los objetos, o la cantidad de lados de una figura, sino solamente aspectos más abstractos como si la figura es cerrada o el número de agujeros que tiene; cosas que no dependen de una medida de longitud.

La conjetura que Poincaré estableció fue que cualquier objeto sin agujeros puede ser deformado hasta que tenga la forma de una esfera. La topología permite esta clase de deformaciones, en las cuales se puede alterar la distancia entre dos puntos de un objeto; sin embargo, no se puede alterar otras propiedades, como la conexidad (o sea, no se permite hacer o deshacer agujeros en los objetos). Poincaré estableció, además, que esta conjetura sería cierta para figuras de cualquier número de dimensiones, no solo tridimensionales. 

En topología, una taza y una dona son equivalentes.

En topología, una taza y una dona son equivalentes.

Los casos en 1 y 2 dimensiones resultaron ser muy sencillos de probar, y los casos para 4 o más dimensiones fueron demostrados por varios matemáticos durante las décadas de 1960 y 1980. Sin embargo, y de manera un poco extraña, el caso de tres dimensiones siguió sin ser resuelto. En mayo del 2000, el Instituto de Matemáticas Clay de Cambridge, Massachusetts, lo anunció como uno de los siete Problemas del Milenio, y ofreció un millón de dólares a quien resolviese el problema.

De acuerdo con este instituto, “los premios fueron concebidos para registrar algunos de los problemas más difíciles contra los que los matemáticos estaban luchando al inicio del segundo milenio; para elevar en la conciencia del público en general el hecho de que en las matemáticas la frontera está aún abierta y que abundan los problemas importantes sin resolver”.

En noviembre del 2002, un misterioso artículo fue publicado en Internet, donde se encontraba una supuesta prueba de la conjetura. La comunidad matemática comenzó a revisarlo inmediatamente, y no se tardó mucho en verificar que la solución era en verdad correcta. El autor del artículo era Grigori Perelman, un matemático ruso, residente de San Petersburgo.

En 2006, se decidió otorgarle la Medalla Fields por este trabajo (considerada muchas veces como el equivalente al premio Nobel en matemática). Sin embargo, Perelman no quiso aceptar el premio, lo cual lo convirtió en la primera persona, y hasta el momento la única en la historia, en haber rechazado este prestigioso premio. Esto causó un gran revuelo en los medios de comunicación, que empezaron a contar su historia por todas partes.

Perelman,_Grigori_(1966)

Grigori Perelman

En 2010 el Instituto Clay también lo declaró ganador del millón de dólares correspondiente a los Problemas del Milenio.  Sin embargo, Perelman rechazó este premio también. “No estoy interesado en dinero ni fama, no quiero que me exhiban como a un animal de zoológico” declaró en ese tiempo. Desde 2003, Perelman no ha vuelto a salir de Rusia para hablar sobre su solución al problema (https://www.youtube.com/watch?v=GItmC9lxeco).

Pero al final ¿qué importancia tiene este trabajo? Así como una tabla periódica nos ayuda a clasificar los elementos químicos, o así como sabemos que los sólidos platónicos son solo cinco, el trabajo de Poincaré, Perelman y los demás matemáticos que trabajaron en este problema nos demuestra que todas estas figuras son del mismo tipo.

Es un hecho tan fundamental del universo como que 2+2=4. Ciertamente, quizá el teorema no sea importante debido a sus aplicaciones, pero lo es debido a que nos muestra que el universo es tal vez más simple y menos caótico de lo que parece.

 

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