Un recorrido breve por la historia reciente de los números primos y sus representaciones.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… ¿Qué número sigue? Problemas como estos, que vemos muchas veces en la escuela (o en el examen de admisión de la universidad) encierran en el fondo la esencia de lo que es la matemática: la búsqueda de patrones. No todos los patrones que estudian los matemáticos se encuentran en los números, pero sí muchos de ellos; incluyendo algunos de los más importantes. Un grupo de números que han fascinado a los matemáticos por miles de años ha sido los números primos.

Los números primos son aquellos que son divisibles tan solo por sí mismos y por 1. Por ejemplo, el número 7 es primo, pues la única manera de multiplicar dos números naturales para que el resultado sea siete es multiplicando 1×7. El número 6 no es primo, pues para obtenerlo podemos multiplicar ya sea 1×6 o 2×3, es decir, 6 es divisible por 1,2,3 y 6.

Estos han sido estudiados desde muy temprano en la historia de la matemática. Los antiguos griegos ya sabían que cualquier número natural se puede escribir como una multiplicación de números primos (este resultado es tan importante que se le dio el nombre de Teorema Fundamental de la Aritmética). Por esta razón estaban interesados en crear una lista de todos los números primos; algo así como lo que los químicos han logrado hacer con la tabla periódica, donde listan todos los elementos básicos en el universo que forman todo lo que hay.

Sin embargo, encontraron un gran problema. Euclides, en el año 300 A.C., demostró que existe una cantidad infinita de primos. ¿Qué hacer en tal caso? Los matemáticos se interesaron entonces en buscar lo siguiente mejor que una lista con todos los primos: una fórmula que los describa.

¿Y por qué sería esto bueno? Para explicarlo, veamos un ejemplo: sabemos que los números pares son infinitos y tenemos una fórmula que los describe: 2x. Sabemos que todo número par es una multiplicación de 2 por algún otro número. Así que con sólo decir que un número es de la forma 2x, sabemos que estamos describiendo un número par en términos matemáticos.

Pero esta tarea probó ser mucho más difícil para los primos. No fue hasta finales del siglo XX que se logró encontrar una fórmula más o menos simple y explícita que calculara los números primos.

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En el siglo XIX, Carl Friedrich Gauss intentó acercarse al problema a través de otro enfoque. Este matemático se preguntó cuántos números primos menores que un número dado hay. Aunque no logró demostrar la veracidad de su afirmación, Gauss estableció que existe un cierto patrón en esta cantidad, e incluso dio la fórmula de la función a la cual se acerca. En el siguiente video podés ver el gráfico de los primeros mil valores de la función (minuto 0:55). Podés ver que la línea parece seguir un camino definido.

 

Sin embargo, la investigación sobre números primos no se queda ahí. En 1967, Stanislaw Ulam dibujaba en su cuaderno mientras se encontraba aburrido en una reunión de ciencia. Comenzó a poner los números naturales en forma de espiral en un papel cuadriculado y luego decidió pintar los números primos. Podés verlo más claramente en el siguiente video (los números compuestos, o no-primos en negro y los primos en blanco):

Lo que Ulam vio fue que los números primos se acomodaban más o menos en diagonales, es decir, logró ver un patrón al acomodar los números de esta forma. Pero yo no veo ningún patrón, me dirás. Bueno, no es un patrón tan claro y es por esto que este patrón no se ha podido explicar completamente.

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Si aún te queda la duda, podés revisar esta otra página web (en inglés) donde se puede ver más claramente que los números primos están más ordenados que si fueran simplemente números aleatorios: http://ulamspiral.com/

No fue hasta 1976 que se encontró una fórmula para los números primos. Y no solo se encontró la fórmula, sino que además esta resultó ser un polinomio (una de las formas más simples que puede tomar una fórmula). El resultado no fue especialmente esclarecedor, ya que la fórmula contiene 26 variables, y además se ha demostrado que no es eficiente en términos computacionales.  Es decir, que aún con una computadora muy poderosa, calcular números primos usando esta fórmula tarda mucho tiempo.

Hoy día, se siguen buscando formas de calcular números primos. En 2003, Robert Sacks, un ingeniero de software, encontró una forma distinta de representar la espiral de Ulam, y se ha visto que esta otra representación contesta algunas de las preguntas que dejaba como incógnitas la representación de Ulam.

Los números primos nos siguen interesando. Si bien, en un inicio eran quizá solo curiosidades matemáticas, actualmente cuentan con muchas aplicaciones, especialmente en áreas como la informática o la estadística. Todos los días, los expertos siguen buscando números primos cada vez más grandes. Pero bueno, esto es tema para otro día, pues la historia de los números primos pareciera ser tan infinita como ellos mismos.


Créditos:
1. Estampilla conmemorativa de los 100 años de la muerte de F. Gauss. Wikipedia Commons.
2. Fotografía de Stanislav Ulam tomada de Los Alamos National Library. Wikimedia Commons.
3. Foto de portada: Jari Kirma para Wolfram.com. Editada con fines editoriales.

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